Os números "e" e pi já foram assunto por aqui, no Engenharia 360. Você deve lembrar que seus valores são, aproximada e respectivamente 2,7183 e 3,1415.
Surge daí esse problema interessante: quem é maior: “Dois vírgula muito elevado a três e pouquinho ou três e pouquinho elevado a dois vírgula muito?". Para se ter uma ideia de como os resultados são próximos, se você usar uma calculadora, chegará aos resultados 23,14 e outro 22,46.
Suponha que você não dispõe de calculadora, como saber quem é maior (a pergunta não é calcule os valores, mas quem é maior: um elevado ao outro ou outro elevado ao um).
Acompanhe a matéria!
Formulação do problema
Já tá formulado... quem é maior: e^pi ou pi^e?
Bem, para saber quem é maior, vamos definir uma relação entre esses números:
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Função logarítmica
Então é possível aplicar a função logaritmo na base e, ou famoso ln (ou logaritmo natural ou logaritmo neperiano). Isso porque a função ln é injetora e crescente.
A título de curiosidade: a função logarítmica é inversa à função exponencial... então é um bom caminho utilizá-la.
Da propriedade dos logaritmos, conclui-se que:
(o expoente “vem pra frente” e lne = 1)
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Fazendo-se o mesmo para a outra parte:
De onde se conclui que:
Certo... e o que fazer com isso?
Concordam se a > b ou a < b, então ln(a) > ln(b) ou ln(a) < ln(b)? (a desigualdade se mantém, ln x é função injetora e crescente!).
Então comparar
É o mesmo que comparar
Entendido isso, vamos para mais uma mudança de variável: seja ln(π) = c (a título de curiosidade, se você calcular chegará ao número 1,145...).
Muito bem... Então, se...
Novamente, das propriedades logarítmicas, nesse caso, usando a definição mesmo:
Observe essa expressão e a relação:
Pronto! Já podemos concluir quem é maior. Por que?
Percebam nessa última expressão, no numerador, que o número “e” aparece elevado a uma constante “c”; ao passo que no denominador o “e” aparece multiplicado por essa constante.
Sejam as funções f(x) = ex e a função g(x)= e.x .
Observe no gráfico abaixo seu comportamento, que dá respaldo para a afirmação do parágrafo anterior.
E o que isso significa? Que o numerador é maior que o denominador (na verdade, a única chance de ambos serem iguais é se c = 1. Qualquer outro número ec será sempre maior que e.c).
..., como queríamos demonstrar!
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Comentários
Cristiano Oliveira da Silva
Engenheiro Civil; formado pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo; com conhecimentos em 'BIM Manager at OEC'; promove palestras com foco em Capacitação e Disseminação de BIM / Soft Skills.