Os números “e“ e pi já foram assunto por aqui, no Engenharia 360. Você deve lembrar que seus valores são, aproximada e respectivamente 2,7183 e 3,1415.
Surge daí esse problema interessante: quem é maior: “Dois vírgula muito elevado a três e pouquinho ou três e pouquinho elevado a dois vírgula muito?”. Para se ter uma ideia de como os resultados são próximos, se você usar uma calculadora, chegará aos resultados 23,14 e outro 22,46.
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Suponha que você não dispõe de calculadora, como saber quem é maior (a pergunta não é calcule os valores, mas quem é maior: um elevado ao outro ou outro elevado ao um).
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Formulação do problema
Já tá formulado… quem é maior: e^pi ou pi^e?
Bem, para saber quem é maior, vamos definir uma relação entre esses números:
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Função logarítmica
Então é possível aplicar a função logaritmo na base e, ou famoso ln (ou logaritmo natural ou logaritmo neperiano). Isso porque a função ln é injetora e crescente.
A título de curiosidade: a função logarítmica é inversa à função exponencial… então é um bom caminho utilizá-la.

Da propriedade dos logaritmos, conclui-se que:

(o expoente “vem pra frente” e lne = 1)
Fazendo-se o mesmo para a outra parte:

De onde se conclui que:
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Certo… e o que fazer com isso?
Concordam se a > b ou a < b, então ln(a) > ln(b) ou ln(a) < ln(b)? (a desigualdade se mantém, ln x é função injetora e crescente!).
Então comparar

É o mesmo que comparar

Entendido isso, vamos para mais uma mudança de variável: seja ln(π) = c (a título de curiosidade, se você calcular chegará ao número 1,145…).
Muito bem… Então, se…

Novamente, das propriedades logarítmicas, nesse caso, usando a definição mesmo:

Observe essa expressão e a relação:

Pronto! Já podemos concluir quem é maior. Por que?
Percebam nessa última expressão, no numerador, que o número “e” aparece elevado a uma constante “c”; ao passo que no denominador o “e” aparece multiplicado por essa constante.
Sejam as funções f(x) = ex e a função g(x)= e.x .
Observe no gráfico abaixo seu comportamento, que dá respaldo para a afirmação do parágrafo anterior.
E o que isso significa? Que o numerador é maior que o denominador (na verdade, a única chance de ambos serem iguais é se c = 1. Qualquer outro número ec será sempre maior que e.c).

…, como queríamos demonstrar!
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Cristiano Oliveira da Silva
- Engenheiro Civil (Poli-USP/2003) - Pesquisador colaborador UFABC - Capacitação e disseminação de BIM - Gerente de Engenharia / BIM Manager - Projetos, Planejamento e Qualidade na empresa BEN - Bureau da Engenharia - INEXH - Instituto Nacional de Excelência Humana - MasterPractitioner e Coach Sistêmico - Analista Corporal - O Corpo Explica - Músico, pai e curioso por natureza