Os números "e" e pi já foram assunto por aqui, no Engenharia 360. Você deve lembrar que seus valores são, aproximada e respectivamente 2,7183 e 3,1415.
Surge daí esse problema interessante: quem é maior: “Dois vírgula muito elevado a três e pouquinho ou três e pouquinho elevado a dois vírgula muito?". Para se ter uma ideia de como os resultados são próximos, se você usar uma calculadora, chegará aos resultados 23,14 e outro 22,46.
Suponha que você não dispõe de calculadora, como saber quem é maior (a pergunta não é calcule os valores, mas quem é maior: um elevado ao outro ou outro elevado ao um).
Acompanhe a matéria!
Formulação do problema
Já tá formulado... quem é maior: e^pi ou pi^e?
Bem, para saber quem é maior, vamos definir uma relação entre esses números:
PUBLICIDADE
CONTINUE LENDO ABAIXO
LEIA MAIS
![A Matemática Responde - parte 1: quem é maior, e^pi ou pi^e? Fórmulas matemáticas](https://engenharia360.com/wp-content/uploads/2022/02/1-7.png)
![A Matemática Responde - parte 1: quem é maior, e^pi ou pi^e? Fórmulas matemáticas](https://engenharia360.com/wp-content/uploads/2022/02/2-7.png)
Função logarítmica
Então é possível aplicar a função logaritmo na base e, ou famoso ln (ou logaritmo natural ou logaritmo neperiano). Isso porque a função ln é injetora e crescente.
A título de curiosidade: a função logarítmica é inversa à função exponencial... então é um bom caminho utilizá-la.
![A Matemática Responde - parte 1: quem é maior, e^pi ou pi^e? Fórmulas matemáticas](https://engenharia360.com/wp-content/uploads/2022/02/3-9.png)
Da propriedade dos logaritmos, conclui-se que:
![A Matemática Responde - parte 1: quem é maior, e^pi ou pi^e? Fórmulas matemáticas](https://engenharia360.com/wp-content/uploads/2022/02/4-10.png)
(o expoente “vem pra frente” e lne = 1)
PUBLICIDADE
CONTINUE LENDO ABAIXO
Fazendo-se o mesmo para a outra parte:
![A Matemática Responde - parte 1: quem é maior, e^pi ou pi^e? Fórmulas matemáticas](https://engenharia360.com/wp-content/uploads/2022/02/5-12.png)
De onde se conclui que:
![A Matemática Responde - parte 1: quem é maior, e^pi ou pi^e? Fórmulas matemáticas](https://engenharia360.com/wp-content/uploads/2022/02/6-10.png)
Certo... e o que fazer com isso?
Concordam se a > b ou a < b, então ln(a) > ln(b) ou ln(a) < ln(b)? (a desigualdade se mantém, ln x é função injetora e crescente!).
Então comparar
![A Matemática Responde - parte 1: quem é maior, e^pi ou pi^e? Fórmulas matemáticas](https://engenharia360.com/wp-content/uploads/2022/02/7-6.png)
É o mesmo que comparar
![A Matemática Responde - parte 1: quem é maior, e^pi ou pi^e? Fórmulas matemáticas](https://engenharia360.com/wp-content/uploads/2022/02/8-5.png)
Entendido isso, vamos para mais uma mudança de variável: seja ln(π) = c (a título de curiosidade, se você calcular chegará ao número 1,145...).
Muito bem... Então, se...
![A Matemática Responde - parte 1: quem é maior, e^pi ou pi^e? Fórmulas matemáticas](https://engenharia360.com/wp-content/uploads/2022/02/12-2.png)
Novamente, das propriedades logarítmicas, nesse caso, usando a definição mesmo:
![A Matemática Responde - parte 1: quem é maior, e^pi ou pi^e? Fórmulas matemáticas](https://engenharia360.com/wp-content/uploads/2022/02/9-7.png)
Observe essa expressão e a relação:
![A Matemática Responde - parte 1: quem é maior, e^pi ou pi^e? Fórmulas matemáticas](https://engenharia360.com/wp-content/uploads/2022/02/10-3.png)
Pronto! Já podemos concluir quem é maior. Por que?
Percebam nessa última expressão, no numerador, que o número “e” aparece elevado a uma constante “c”; ao passo que no denominador o “e” aparece multiplicado por essa constante.
Sejam as funções f(x) = ex e a função g(x)= e.x .
Observe no gráfico abaixo seu comportamento, que dá respaldo para a afirmação do parágrafo anterior.
E o que isso significa? Que o numerador é maior que o denominador (na verdade, a única chance de ambos serem iguais é se c = 1. Qualquer outro número ec será sempre maior que e.c).
![A Matemática Responde - parte 1: quem é maior, e^pi ou pi^e? Fórmulas matemáticas](https://engenharia360.com/wp-content/uploads/2022/02/11-5.png)
..., como queríamos demonstrar!
Imagens: Todos os Créditos reservados aos respectivos proprietários (sem direitos autorais pretendidos). Caso eventualmente você se considere titular de direitos sobre algumas das imagens em questão, por favor entre em contato com contato@engenharia360.com para que possa ser atribuído o respectivo crédito ou providenciada a sua remoção, conforme o caso.
Comentários
![Engenharia 360](https://engenharia360.com/wp-content/uploads/2021/04/WhatsApp-Image-2021-04-12-at-08.44.02-e1619482882983.jpeg)
Cristiano Oliveira da Silva
Engenheiro Civil; formado pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo; com conhecimentos em 'BIM Manager at OEC'; promove palestras com foco em Capacitação e Disseminação de BIM / Soft Skills.