O 360 já fez excelentes artigos sobre matemática aplicada. Mas, agora, nesta matéria, apresentamos como obter uma das mais belas identidades matemáticas utilizando as Séries de Maclaurin, a Identidade de Euler!

A saber, essa identidade contém as principais constantes matemáticas e foi descoberta por Leonhart Euler, um dos matemáticos mais brilhantes que a humanidade já conheceu. Continue lendo para saber mais!

Veja Também: Séries de Taylor e de Maclaurin

Um pré-entendimento das partes envolvidas na Identidade de Euler

O número imaginário 'i'

Qualquer estudante do Ensino Médio conhece o conceito do número 'i', que é um número imaginário definido como a raiz quadrada de -1. Esse domínio dos números complexos foi introduzido por René Descartes - já que não existe, no domínio dos números reais, a raiz quadrada ou qualquer raiz par de números negativos - de modo que, naquela época, acreditava-se que tais números não existiam.

Entretanto, ainda que "não existam", são ferramentas matemáticas muito úteis para relacionar grandezas correlatas - como, por exemplo, campos eletromagnéticos (campos elétricos e magnéticos). Na verdade, matematicamente falando, o domínio dos números complexos existe e suas aplicações são indiretas. Mas existe! Além disso, a sua utilidade se estende às soluções de equações algébricas e equações diferenciais.

As constantes 'π' e 'e'

Em outros momentos, apresentamos matérias explicando a origem do número "π" e do número "e". Há um universo de estudos dos matemáticos acerca desses números, amplamente utilizados por profissionais da área de exatas - e as suas particularidades podem até ser conferidas em algumas das matérias que já publicamos aqui no site!

A relação da função exponencial com as funções trigonométricas

Inicialmente, vamos observar as séries de Maclaurin para as funções e^x, sen(x) e cos(x):

Se observarmos atentamente essas três expressões, é perceptível que elas se relacionam, a menos dos sinais dos termos. Ou seja: o sen(x) relaciona expoentes e fatoriais ímpares, ao passo que o cos(x) relaciona expoentes e fatoriais pares. Já a função e^x, relaciona expoentes e fatoriais pares e ímpares.

Mas será que há uma forma de relacionar a função exponencial com as funções trigonométricas? A resposta é sim, e o crédito dessa relação é atribuído a Euler!

Suponha que o expoente x seja substituído por “θi”, onde o θ seja um número real - um ângulo em radianos, por exemplo - e 'i' a constante imaginária.

Sabe-se que 'i' apresenta uma relação de recorrência quando elevado a um número natural, ou seja:

• i¹= i
• i² = -1
• i³ = -i
• i⁴ = 1
• i⁵ = i
• i⁶ = -1

E assim se repete...

Sabendo disso, vamos substituir “θi” na expressão da função exponencial:

Substituindo os valores dos expoentes de 'i', a expressão pode ser reescrita da seguinte maneira:

Por fim, vamos colocar em ordem os termos em que aparecem 'i' e os que não aparecem:

Conseguem perceber o que acontece? Na primeira soma infinita, temos a função cos(θ) e na segunda expressão, fica i.sen(θ). Portanto, uma forma de escrever essa relação seria:

Essa expressão é bem conhecida dos Engenheiros Elétricos, que a utilizam para representar fatores de circuitos elétricos alternados!

Colocando no plano dos números complexos, fica evidente a sua utilidade:

Enfim, ela, a identidade

Mas, e se o ângulo θ for considerado como sendo π? Bem, aí basta substituirmos na expressão:

Logo,

Ou seja,

Esta é, portanto, uma relação que envolve as 5 principais constantes utilizadas na Matemática!

Na opinião do físico Richard Feynman, essa é a expressão mais bela de toda a Matemática. Já segundo Saloman Khan - Khan Academy -, “If this does not blow your mind, then you have no emotions”.

Particularmente, concordo com as afirmações! E você? Deixe a sua opinião nos comentários!

Fonte: Identidade de Euler.

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Cristiano Oliveira da Silva

Engenheiro Civil; formado pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo; com conhecimentos em 'BIM Manager at OEC'; promove palestras com foco em Capacitação e Disseminação de BIM / Soft Skills.