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Identidade de Euler: conheça uma das mais belas identidades matemáticas

por Cristiano Oliveira da Silva | 24/05/2021

Nessa matéria, o Engenharia 360 apresenta como se obtém uma das mais belas identidades matemáticas utilizando as Séries de Maclaurin, a Identidade Euler.

O 360 já fez excelentes artigos sobre matemática aplicada. Mas, agora, nesta matéria, apresentamos como obter uma das mais belas identidades matemáticas utilizando as Séries de Maclaurin, a Identidade de Euler!

A saber, essa identidade contém as principais constantes matemáticas e foi descoberta por Leonhart Euler, um dos matemáticos mais brilhantes que a humanidade já conheceu. Continue lendo para saber mais!

Veja Também: Séries de Taylor e de Maclaurin

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Matemático Leonhard Euler, descobridor da Identidade de Euler – Imagem de Wikipédia

Um pré-entendimento das partes envolvidas na Identidade de Euler

O número imaginário ‘i’

Qualquer estudante do Ensino Médio conhece o conceito do número ‘i’, que é um número imaginário definido como a raiz quadrada de -1. Esse domínio dos números complexos foi introduzido por René Descartes – já que não existe, no domínio dos números reais, a raiz quadrada ou qualquer raiz par de números negativos – de modo que, naquela época, acreditava-se que tais números não existiam.

Entretanto, ainda que “não existam”, são ferramentas matemáticas muito úteis para relacionar grandezas correlatas – como, por exemplo, campos eletromagnéticos (campos elétricos e magnéticos). Na verdade, matematicamente falando, o domínio dos números complexos existe e suas aplicações são indiretas. Mas existe! Além disso, a sua utilidade se estende às soluções de equações algébricas e equações diferenciais.

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René Descartes, que introduziu no ensino o domínio dos números complexos – Imagem de Wikipédia

As constantes ‘π’ e ‘e’

Em outros momentos, apresentamos matérias explicando a origem do número “π” e do número “e“. Há um universo de estudos dos matemáticos acerca desses números, amplamente utilizados por profissionais da área de exatas – e as suas particularidades podem até ser conferidas em algumas das matérias que já publicamos aqui no site!

A relação da função exponencial com as funções trigonométricas

Inicialmente, vamos observar as séries de Maclaurin para as funções ex, sen(x) e cos(x):

Séries de Maclaurin para a função exponencial e as funções trigonométricas seno e cosseno
Séries de Maclaurin para a função exponencial e as funções trigonométricas seno e cosseno

Se observarmos atentamente essas três expressões, é perceptível que elas se relacionam, a menos dos sinais dos termos. Ou seja: o sen(x) relaciona expoentes e fatoriais ímpares, ao passo que o cos(x) relaciona expoentes e fatoriais pares. Já a função ex, relaciona expoentes e fatoriais pares e ímpares.

Mas será que há uma forma de relacionar a função exponencial com as funções trigonométricas? A resposta é sim, e o crédito dessa relação é atribuído a Euler!

Suponha que o expoente x seja substituído por “θi”, onde o θ seja um número real – um ângulo em radianos, por exemplo – e ‘i’ a constante imaginária.

Sabe-se que ‘i’ apresenta uma relação de recorrência quando elevado a um número natural, ou seja:

  • i1= i
  • i2 = -1
  • i3 = -i
  • i4 = 1
  • i5 = i
  • i6 = -1

E assim se repete…

Sabendo disso, vamos substituir “θi” na expressão da função exponencial:

Substituindo os valores dos expoentes de ‘i’, a expressão pode ser reescrita da seguinte maneira:

Por fim, vamos colocar em ordem os termos em que aparecem ‘i’ e os que não aparecem:

Conseguem perceber o que acontece? Na primeira soma infinita, temos a função cos(θ) e na segunda expressão, fica i.sen(θ). Portanto, uma forma de escrever essa relação seria:

Essa expressão é bem conhecida dos Engenheiros Elétricos, que a utilizam para representar fatores de circuitos elétricos alternados!

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Motor elétrico de corrente alternada, aplicação dos circuitos elétricos alternados em Engenharia Elétrica – Imagem de acervo.oifuturo
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gráfico que ilustra como funciona uma corrente alternada – Imagem de Portal Solar

Colocando no plano dos números complexos, fica evidente a sua utilidade:

Fórmula de Euler no plano dos números complexos
Fórmula de Euler no plano dos números complexos

Enfim, ela, a identidade

Mas, e se o ângulo θ for considerado como sendo π? Bem, aí basta substituirmos na expressão:

Logo,

Ou seja,

Esta é, portanto, uma relação que envolve as 5 principais constantes utilizadas na Matemática!

Na opinião do físico Richard Feynman, essa é a expressão mais bela de toda a Matemática. Já segundo Saloman Khan – Khan Academy -, “If this does not blow your mind, then you have no emotions”.

Particularmente, concordo com as afirmações! E você? Deixe a sua opinião nos comentários!


Fonte: Identidade de Euler.

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Cristiano Oliveira da Silva

- Engenheiro Civil (Poli-USP/2003) - Pesquisador colaborador UFABC - Capacitação e disseminação de BIM - Gerente de Engenharia / BIM Manager - Projetos, Planejamento e Qualidade na empresa BEN - Bureau da Engenharia - INEXH - Instituto Nacional de Excelência Humana - MasterPractitioner e Coach Sistêmico - Analista Corporal - O Corpo Explica - Músico, pai e curioso por natureza