Em matemática, o estudo das séries de potências aplicadas a casos particulares é bem amplo e há diversos tipos a serem estudados - como as séries infinitas, de Fourier, de Taylor, de Maclaurin, binômio de Newton e por aí vai. Agora, neste texto, nós iremos falar sobre dois tipos bem conhecidos: as séries de Taylor e de Maclaurin!

A lógica por trás de uma aproximação por séries de potências é a seguinte: qualquer função que respeita algumas regras matemáticas de continuidade e diferenciação num intervalo dado, podem ser aproximadas por uma série infinita de polinômios.

Isso tem ganhos muito práticos, principalmente porque muitas vezes é mais fácil trabalhar algebricamente com polinômios do que com a própria função.

Série de potências na matemática

Uma série de potências é toda expressão no formato:

Vejam que é uma soma infinita, do ponto de vista formal. Entretanto, na prática, é possível estimar um número finito de termos, tendo como premissa a precisão que se busca para a aproximação. Ou seja: pode-se avaliar o “erro”, pegando-se o último termo da série e subtraindo-se o valor do penúltimo. Não daremos foco nos formalismos matemáticos, mas na aplicação para o caso de algumas funções.

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Série de Taylor

Na matemática, a Série de Taylor é uma expressão que aproxima uma dada função em torno de um ponto escolhido arbitrariamente.

A expressão é a seguinte:

A constante c indica que a aproximação é válida em torno desse ponto.

Os valores dos coeficientes a_n são definidos através das derivadas da função que se quer aproximar.

Utilizando-se essa ideia, chega-se à seguinte expressão:

Os termos f’; f’’, f’’’... correspondem às sucessivas derivadas da função que se quer aproximar.

Por exemplo: suponha que se deseje através dessa série, calcular o valor aproximado para ln(2,1) (logaritmo neperiano de 2,1). Há tabelas de logaritmos para ln2, ln3, ln4 etc... Mas não é comum encontrar na tabela o valor do ln2,1. Se você pegar a sua HP empoeirada na gaveta e calcular esse valor, irá chegar a 0,7419373. E se você não dispusesse de uma calculadora para realizar esse cálculo? Uma saída seria usar o polinômio de Taylor!

A função em questão é ln(x). Vamos aplicar esse polinômio com os 4 primeiros termos e ver o que acontece?

Suas derivadas são bem conhecidas:

f’(x) = 1/x

f”(x)= -1/x²

f’’’(x) = 2/x³

Como queremos avaliar através da matemática a função para 2,1 então é bem razoável tomarmos a = 2. É em torno desse número que a expressão será calculada.

Substituindo então a = 2 no valor das expressões para as derivadas, temos:

f'(c) = 1/2

f’’(c) = -1/4

f’’’(c) = 1/4

Então, dessa forma, chega-se à expressão:

Substituindo-se x = 2,1 na expressão e os valores das derivadas, temos:

Resolvendo essa expressão, chega-se a 0,7419885, que é um valor que bate com o da calculadora até a 4ª casa decimal, tornando a aproximação bem precisa.

Série de Maclaurin

Ainda na matemática, as séries de Maclaurin são um caso particular da Série de Taylor, considerando a centralização da aproximação em torno de c = 0.

Se substituirmos na Série de Taylor o valor de c= 0, obtemos a seguinte série:

Vamos expandir essa série para três funções que apresentam derivadas bem conhecidas: senx, cosx e e^x.

Expansão de sen(x) e cos(x)

Tomando-se a função sen(x), temos as seguintes derivadas:

f'(x) = cos(x)

f’’(x) = - sen(x)

f’’’(x) = -cos(x)

f⁽⁴⁾(x) = sen(x)

f⁽⁵⁾(x) = cos(x)

Não precisa ser nenhum gênio da matemática, dominando cálculo integral e diferencial, para perceber que a partir da 4ª derivada, tudo se repete. Além disso, a primeira derivada já é a função cosx e tudo igualmente se repete.

Como precisamos dos valores em torno de 0 (zero), agora ficou bem fácil determinar os termos, sabendo-se apenas que sen(0) = 0 e cos(0) = 1.

Sendo assim, temos as belíssimas expressões para a aproximação das funções senx e cosx:

Se você se formou em Engenharia, em algum momento, você ouviu seu professor de cálculo dizendo que “para valores pequenos de x, sen(x) = x e cos(x) = 1”.

Vamos fazer esse teste para sen(x): suponha que x = 0,1.

Então a expressão do sen(x) fica:

Calculando essa expressão, você chegará ao valor 0,099833416667, que é aproximadamente 0,1. Isso porque 0,1 é pequeno. Elevado ao cubo e dividido por 3!, fica menor ainda. Elevado à 5ª potência e dividido por 5! (120), vira quase zero!

Expansão da função exponencial e^x

Já vimos aqui no Engenharia 360 uma matéria explicando as particularidades do número “e”.

Uma delas é que, se usado como base de uma função exponencial, f(x) = e^x, as suas derivadas são a própria função! Isso é ótimo, porque as n derivadas serão e^x e, consequentemente, avaliada em c = 0, sabemos que qualquer número elevado a 0 resulta 1.

Portanto, para a função exponencial, temos a bela aproximação:

E se considerarmos nessa expressão x = 1? Aí teremos uma série para obtenção do número “e”, resultando na soma infinita apresentada abaixo:

Séries de Taylor e de Maclaurin, Lei de Hooke, Identidade de Euler from Engenharia 360

E aí, curtiu entender um pouco mais sobre série de potências? Também acha essas expressões interessantes? Comenta aí pra gente!

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Fonte: Wikipedia e Wikipedia 2.

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