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O que são derivada e integral? Definições, aplicações e exemplos

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por Redação 360
| 27/06/2022 | Atualizado em 17/01/2024 4 min
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O que são derivada e integral? Definições, aplicações e exemplos

por Redação 360 | 27/06/2022 | Atualizado em 17/01/2024
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Para aqueles que não estudam ou trabalham com alguma profissão na área das exatas, falar de 'derivada' e 'integral' parece mesmo coisa de outro mundo, praticamente um idioma diferente. Por exemplo, já ouviu falar em Cálculo Diferencial, por vezes também chamado de Cálculo Infinitesimal?

Saiba que esse conhecimento partiu dos estudos da Geometria e da Álgebra. E o que fazer com isso? Bem, coisas incríveis como calcular a inclinação de uma reta, o volume de sólidos e mais coisas que tem tudo a ver com as engenharias. Mais informações no texto a seguir, do Engenharia 360!

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Cálculo de derivada e integral

Derivada

A derivada é uma medida da taxa de variação de uma função. Ela pode ser usada para calcular uma variedade de coisas, incluindo:

  • A inclinação de uma reta.
  • A velocidade instantânea de um objeto.
  • O volume de um sólido.
  • A área sob uma curva.

Em outro artigo especial do Engenharia 360, falamos sobre Fermat. Pois o mesmo, em determinado momento da vida, estudava sobre tangente. Nesse tempo, ele observou que, em certas funções, nos pontos onde a curva detinha valores extremos, a tangente resultante se caracterizava como uma reta do tipo horizontal, sendo um ponto de interseção P(x, f(x)) e outro Q(x+E, f(x+E)). Aliás, a diferença entre os tais f(x+E) e f(x) era mínima. Assim, ele relacionou a determinação de tangentes às curvas e de extremos, formando o conceito da Derivada.

Existe o que podemos chamar de Cálculo de Derivada Básica. Quer conhecê-lo?

f(x) = y ou f(x) = x² ou f(x) = 1.x²

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Neste caso, podemos calcular do seguinte modo, por exemplo, f ‘(x) = 2.1.x2+1 ou f’’(x) = 2x, cuja a derivada de f(y) = 3y5 seria, sim, f ’(y) = 15y4!

Então, analisando isso, como podemos definir  a Derivada?

Derivada = taxa de variação de uma função, que representa de onde uma função veio, de onde ela deriva, o que deu origem a ela.

A Derivada seria aplicada em um problema assim com a interpretação correta do Cálculo; aliás, é por isso que os professores de Matemática dizem que precisamos estudar interpretação ou português. Exato! Em todo o cálculo matemático, existe uma teoria do tema a ser trabalhado, pode acreditar! Lembre-se de escolher um bom método de estudo antes de tudo!

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derivada e integral
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Veja Também: Tabela de Integrais, Derivadas e Identidades Trigonométricas

Integral

A integral é a operação inversa da derivada. Ela pode ser usada para calcular uma variedade de coisas, incluindo:

  • A área sob uma curva.
  • O volume de um sólido.
  • A quantidade de uma substância em um recipiente.

Agora, olha que interessante, o Fermat estava lá estudando a tangente, como contamos antes. Mas o que seria o oposto disso? O inverso de uma tangente? Saberia dizer? Bom, aprendemis isso no colégio. Trata-se da cotangente! E isso nos leva à questão de que a Derivada também tem um inverso, claro. E esta é chamada de quê? Sim! A Integral, representada por ∫, e definida ou indefinida - esta última chamada de antiderivada.

Digamos que, quando f ’(x) = 2x, a Integral seria g(x) = ∫2x dx.

Na Matemática, o conceito disso ajuda a delimitar a área localizada sob uma curva em um plano cartesiano. Na prática, isso pode ser usado, talvez, para determinar a posição de um objeto em vários instantes, desde que sua velocidade instantânea seja conhecida em todos os instantes. Mas também dá para adaptar o cálculo para resolver problemas relacionados à continuidade, limites e existência de determinados procedimentos e mais. Só atenção, pois, por motivos diversos, uma função pode ser Integral ou não, de acordo com uma definição ou outra.

funções matemática na engenharia
Tabela de derivadas e integrais

Veja Também: Calculadora Casio fx-991ES PLUS: integral, diferencial, matriz e vetorial

Uso de derivadas e integrais na engenharia

Na engenharia, as derivadas e integrais podem ser usadas para:

  • Projetar estruturas e máquinas.
  • Calcular a força, o momento e outras grandezas físicas que atuam em estruturas e máquinas.
  • Resolva equações diferenciais que descrevem o comportamento de estruturas e máquinas.

Concluindo, as derivadas e integrais são conceitos fundamentais do cálculo diferencial e integral, com aplicações em diversas áreas da matemática, física, engenharia e outras ciências. Neste artigo, você aprendeu o que são essas funções e como elas podem ser usadas no seu dia a dia.

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Fontes: Colégio Web, Colégio Web 2.

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