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Como funciona a "matemágica" dos juros compostos? | 360 Explica

por Cristiano Oliveira da Silva | 12/07/2021

As pessoas se perguntam como os outros enriquecem. Mas só através de um conhecimento financeiro básico é que se consegue atingir metas! Entenda!

A definição clássica de juros corresponde ao valor cobrado por um determinado empréstimo, expresso como um percentual do valor inicial considerando determinado intervalo de tempo. A variável tempo pode ser diária, mensal, anual ou qualquer outra que seja definida e acordada entre as partes envolvidas.

Os juros podem ser simples, quando a incidência é sobre um montante fixo, e compostos, quando se considera a evolução da dívida no tempo!

Nessa matéria, iremos entender, matematicamente, o efeito dos juros no tempo e como isso pode ser encarado como “herói” ou “vilão”. Segundo Albert Einstein, “os juros compostos são a força mais poderosa do universo e a maior invenção da humanidade, porque permitem uma confiável e sistemática acumulação de riqueza”.

A seguir, algumas razões que sustentam essa afirmação de Albert!

Sobre a força do crescimento exponencial

Imagine uma folha de papel de 1 milímetro de espessura. Se você dobrar essa folha uma vez, obterá 2 milímetros. Se dobrar 10 vezes, o valor obtido será 1024 x 1 mm = 1024 mm (ou 1 m). Se dobrarmos 20 vezes, que número nós obteríamos? Seria 220 x 1 mm = 1048576 x 1 mm = 1.048.576 mm (ou 1048 m). Se dobrarmos 40 vezes, obteríamos 240 x 1 mm = 1.125.899.906.842.624 mm, ou 1,12 trilhão de metros ou bilhão de quilômetros – ordem de grandeza do nosso sistema solar.

Matematicamente falando: o crescimento exponencial é um fenômeno poderosíssimo. Com 40 iterações, você sai da ordem de grandeza do milímetro para a magnitude do raio do sistema solar.

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Imagem extraída de Pixabay

Sobre a matemática básica dos juros

Vamos entender, com um exemplo simples, a lógica dos juros compostos!

Suponha que você tome emprestado de um banco um montante de R$100,00 a uma taxa mensal de 5%. Isso significa que o custo desse empréstimo é de R$5,00 (que são os 5% de R$100,00).

Se forem juros simples, esse valor será constante. Portanto, nesta modalidade, caso você queira quitar a dívida após 6 meses, irá pagar os R$100,00 adicionados de 6 x R$5,00, resultando num total de R$30,00. OU seja, após 6 meses, pagaria R$130,00!

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Mas a lógica dos juros compostos é outra! Os juros compostos irão variar o valor da dívida mês a mês!

Por exemplo, vamos supor que você irá pagar após 6 meses. Então, após o primeiro mês, sua dívida será R$100,00 + R$5,00 = R$105,00. No segundo mês, sua dívida já é R$105,00, então os 5% de juros irão incidir sobre os R$105,00 (e não mais sobre os R$100,00). Só após o segundo mês é que a dívida passa a ser R$105,00 + 5% de R$105,00 (ou seja, R$5,25), sendo transformada numa dívida de R$110,25. E, assim, sucessivamente até o sexto mês.

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Matematicamente falando, eis como ficaria a evolução da dívida:

  • Período 0 (tomada da dívida) = R$100,00
  • Período 1 (um mês depois) = R$100,00 + 5% de R$100,00 = R$100,00 x (1 + 5%)
  • Período 2 (mês 2) = R$100,00 x (1+5%) + 5% de R$100,00 x (1+5%) = R$100,00 x (1 + 5%)²

Por extrapolação, chegamos ao sexto mês com:

  • Período 6 (mês 6) = R$100,00 x (1 + 5%)6

Portanto, para um montante inicial (M), considerando juros (j) num determinado período de tempo (t), a expressão que generaliza o valor da dívida (D) é:

D = M x (1 + j)t

Percebam que o fator tempo entra no expoente da equação. Isso faz toda diferença!

Para que preciso saber disso?

Era muito comum, quando me apresentava como professor de matemática, ouvir parte dos alunos questionarem “pra que preciso saber disso?”. A justificativa era óbvia: porque isso será cobrado na sua prova de vestibular (basta entender e saber aplicar aquilo que já foi pensado antes por alguém)!

Eu costumava dar o exemplo clássico de que, se você não souber juros compostos, corre o risco de se tornar escravo das suas dívidas. Mas se você souber, tem uma ferramenta muito eficaz para multiplicar o seu próprio patrimônio!

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Vamos tomar como exemplo o cartão de crédito. Os juros praticados no Brasil são da ordem de 200% ao ano, que é uma taxa extremamente alta se comparada ao resto do mundo – que pratica juros da ordem de 20% ao ano.

Portanto, suponha que você faça uma dívida de R$100,00. Quanto vai se tornar essa dívida após um período relativamente curto, digamos 3 anos? Simples: ficará R$100 x (1+2)3 = R$2.700,00.

Mas se a taxa foi reduzida para 30% ao ano, ao invés de 200% (que ainda seria alta). Então, o valor da dívida seria R$100 x (1+0,3)3 = R$219,70.

Por fim, suponha que você queira investir os R$100,00. No mundo real, para investidores de perfil ‘conservador’ a ‘moderado’, uma taxa possível e praticável é de 10% ao ano. Considere que esse investimento fique aplicado 3 anos rendendo a essa taxa. Qual o valor que teremos após 3 anos?

O valor seria R$100 x (1+0,1)3 = R$133,10.

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Moral da história, nas mãos dos bancos, uma dívida é multiplicada por:

  • 27 após 3 anos num cenário de juros abusivos (cenário atual) ;
  • 2,2 após 3 anos num cenário mais próximo da realidade (cenário futuro / esperado).

Num investimento tradicional, no mesmo período, o capital é multiplicado por 1,33.

Quando começar a investir?

A resposta mais assertiva possível: ontem. Por quê? Porque o fator tempo vai no expoente da equação.

Como planejar a saúde financeira dos filhos?

Vamos fazer um comparativo: uma filha ou filho com 6 anos de idade que possui uma carteira de investimentos cujos juros rendem anualmente 15%. Seus pais aplicam todo ano R$1.200,00 (equivalente à R$100,00 mensais, cenário totalmente dentro da realidade). Seu montante inicial é R$1.000,00.

  1. Quando a criança tiver 18 anos, quanto ela terá disponível?
  2. Se ela continuar investindo o mesmo montante, qual o valor que ela terá aos 50 anos de idade?
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Mais uma observação matemática

Temos o modelo de cálculo para, dado um montante, quanto ele valerá após t períodos de tempo considerando uma taxa de juros j correspondente para este período.

[M.(1+j)t]

E qual a fórmula então considerando um aporte constante?

Vamos demonstrar:

  • Período 0 (valor inicial do investimento) M
  • Aportes anuais P
  • Período 1 (um ano depois) = M + j.M + P = M.(1 + j) + P
  • Período 2 (dois anos depois) = M.(1 + j) + P +[M.(1 + j) + P].j + P =
  • [M.(1 + j) + P](1+j)+P =
  • M.(1 + j)2 + P.(1 + j) + P

Por extrapolação, após t anos:

  • V = M.(1+j)t + P.[somatório (1+j)^(n-1); n = 1 até t].
  • E quanto vale o somatório [(1+j)^(n-1); n = 1 até t]?
  • Podemos utilizar a formulação para a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica.
  • A soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica com termo a1 = 1 e razão q é expressa por:
  • Sn = a1 + a1.q + a1.q² + … + a1.qn.
  • Sn = 1 + q + q² + … + qn. (I)
  • Multiplicando (I) por q, temos:
  • q.Sn = q + q² + … + q(n+1). (II)
  • Fazendo-se (II) – (I):
  • Sn.(q – 1) =q(n+1) – 1
  • Sendo assim, Sn = [q(n+1) – 1]/(q-1)

Então, considerando um valor inicial M, com aplicações anuais P e juros anuais j, o valor da somatória (1+j)^(n-1); n = 1 até t pode ser escrita como a soma dos t primeiros termos da progressão geométrica de termo a1 = 1 e q = (1+j), obtendo-se a seguinte relação:

V = M.(1+j) t + P.[(1+j)t+1 – 1]/j

Vamos aos valores

Vamos à resposta para os valores que o filho o filho irá ter com 18 e 50 anos:

  • A criança tem hoje tem 6 anos, até os 18 são 12 anos e até os 50 são 44.
  • A taxa anual considerada é 15%.
  • O valor inicial M = R$1.000,00 e os aportes anuais R$1.200,00.
  • Então o valor de que ela irá dispor quando tiver 18 anos será:
  • V = 1000.(1+0,15)12 + 1200.[(1+0,15)13 – 1]/0,15 = R$46.570,00

Se fizermos as contas sem considerar os juros, teríamos um total de:

R$1000 + 12 x R$1200 = R$15.400,00

Ou seja, considerando-se os juros, o valor triplica no período de 12 anos!

Com 50 anos, 44 anos após iniciar seus investimentos, o valor acumulado será:

  • V = 1000.( 1+0,15)44 + 1200.[(1+0,15)45 – 1]/0,15 = R$ 4.770.650 (sim, 4,8 milhões, o que seria uma bela aposentadoria).

Se fossem apenas os R$1.000,00 iniciais desconsiderando aportes anuais, o valor após 44 anos seria:

  • V = 1000.( 1+0,15)44 = 1000 x = R$468.500 (aproximadamente meio milhão).

Então, por que não vemos tantos milionários? Porque é preciso consistência nos aportes e no monitoramento dos investimentos garantindo as taxas pré-estabelecidas e, principalmente, esperar o fator tempo agir. Fora isso, quem tem ganhos consideráveis de aplicações financeiras, não sai por aí contando o quanto ganhou!

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Como planejar a própria saúde financeira?

Vamos supor a situação do pai dessa criança. Digamos que ele consiga todos os meses investir R$2.000,00 e que já tem 43 anos, algum conhecimento de mercados e gostaria de saber quanto terá aos 50 anos mantendo essa rotina de investimentos. Sua carteira é diversificada, com ações de empresas nacionais, empresas internacionais, fundos imobiliários e tesouro direto. O rendimento médio de sua carteira é de 1,5% ao mês.

Então o período seria 7 anos x 12 meses = 84 meses.

  • M = R$2.000,00
  • P = R$2.000,00

Valor quando tiver 50 anos:

  • V = 2000.(1+0,015)84 + 2000.[(1+0,015)85 – 1]/0,015
  • V = 6.985 + 339.330 = 345 mil.

Percebam que o esforço é muito maior quando se começa investir tarde. Por essa razão é que o melhor tempo para começar a investir é ontem!

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Como usar os juros compostos a meu favor?

Como usar os benefícios dos juros compostos? O primeiro passo é se disciplinar a direcionar parte dos seus rendimentos para investimentos!

É fundamental ter uma planilha de controle (há diversos aplicativos com função de gestão financeira). A ideia aqui é ter clareza de quanto está o seu custo de vida, quanto entra de receita num determinado período de tempo, quanto você investe e fazer o acompanhamento da evolução do patrimônio. Com essas informações, tem-se dados suficientes para decidir agir efetivamente para construir o cenário que desejar!

Criar um fundo de emergência, que são recursos disponíveis para arcar com emergências. Um cálculo inicial é que seja um valor equivalente a 12 meses do seu custo de vida.

Adquirir conhecimento através de livros, cursos, treinamentos e qualquer atividade direcionada à educação financeira também ajuda!

Através de um conhecimento financeiro básico, é possível assumir riscos maiores e encarar taxas mais atrativas, caso o investidor queira partir para a modalidade ‘agressivo’. Ainda assim, se quiser se manter na faixa dos ‘conservadores’ a ‘moderados’, há ótimas opções no mercado que demandam conhecimento básico para suporte à tomada de decisões.

Aqui vai meu último conselho: conhecendo o comportamento dos juros compostos no tempo, “deixar o fermento atuar”!

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Fontes: Warren.

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Cristiano Oliveira da Silva

- Engenheiro Civil (Poli-USP/2003) - Pesquisador colaborador UFABC - Capacitação e disseminação de BIM - Gerente de Engenharia / BIM Manager - Projetos, Planejamento e Qualidade na empresa BEN - Bureau da Engenharia - INEXH - Instituto Nacional de Excelência Humana - MasterPractitioner e Coach Sistêmico - Analista Corporal - O Corpo Explica - Músico, pai e curioso por natureza