Ian Stewart é o autor da obra "Em Busca do Desconhecido: 17 Equações Que Mudaram o Mundo". O livro explora equações importantes em um contexto humano, destacando sua beleza e importância cultural.
Das equações mencionadas, a Black-Scholes, foi, certa vez, uma das causadoras de crise financeira. As pessoas interpretaram mal a equação e tomaram decisões ruins, levando a um contexto inevitável. O fato é que a complexidade dos instrumentos financeiros contribuiu, por muito tempo, para a falta de compreensão dos riscos envolvidos. Isso permitiu, por exemplo, que os mercados crescessem descontroladamente, resultando em consequências desastrosas.
Mas aqui, neste texto do Engenharia 360, queremos explicar melhor quais dessas dezessete equações mencionadas foram são usadas pelas engenharias. Confira!
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O Teorema de Pitágoras
A equação do Teorema de Pitágoras é expressa da seguinte forma:
a² + b² = c²
Onde "a" e "b" representam os catetos de um triângulo retângulo, e "c" representa a hipotenusa. A equação afirma que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Essa relação matemática é fundamental para resolver problemas envolvendo triângulos retângulos e é amplamente utilizada na geometria e na trigonometria.
É amplamente utilizado na geometria e trigonometria, que são disciplinas essenciais para engenheiros envolvidos em levantamento preciso, cartografia, navegação e triangulação.
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O Teorema de Pitágoras afirma que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Embora seja comumente atribuído a Pitágoras, não é certo que ele tenha sido o primeiro a provar esse teorema. A primeira prova clara foi apresentada por Euclides, e é possível que os babilônios já conhecessem esse conceito mil anos antes de Pitágoras.
Atualmente, o Teorema de Pitágoras continua sendo utilizado de diversas maneiras. A triangulação, baseada nesse teorema, é empregada para determinar a localização relativa na navegação por GPS e em outras aplicações modernas.
O logaritmo e suas identidades
O logaritmo é uma função matemática que descreve a relação entre uma base, um número e seu expoente. A equação do logaritmo é expressa da seguinte forma:
log(base b) (x) = y
Nesta equação, "b" representa a base do logaritmo, "x" representa o número para o qual queremos determinar o logaritmo e "y" representa o resultado do logaritmo.
Os logaritmos são usados em cálculos complexos e são essenciais para engenheiros e cientistas em várias áreas, como engenharia elétrica, engenharia mecânica e ciência da computação.
O escocês Laird John Napier de Merchiston descobriu inicialmente o conceito do logaritmo como uma maneira de simplificar e acelerar a multiplicação de grandes números, que era tediosa e demorada na época. Mais tarde, Henry Briggs refinou esse conceito, criando tabelas de logaritmos que facilitaram os cálculos e se tornaram mais úteis como referência.
Atualmente, os logaritmos continuam sendo relevantes, pois contribuem para nossa compreensão do decaimento radioativo e são aplicados em diversos contextos científicos.
O teorema fundamental do cálculo
O Teorema Fundamental do Cálculo é composto por duas partes inter-relacionadas: a primeira parte lida com a integração de uma função, enquanto a segunda parte lida com a diferenciação de uma função. Juntas, essas partes permitem descrever a relação entre a integral e a derivada de uma função.
∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)
d/dx ∫[a, x] f(t) dt = f(x)
É fundamental em cálculo e é amplamente utilizado em problemas matemáticos que envolvem taxas de mudança, como medições de sólidos, curvas e áreas. É essencial em campos como da computação.
O teorema fundamental do cálculo é de extrema importância, sendo descrito como "mais do que qualquer outra técnica matemática, ele criou o mundo moderno", de acordo com Stewart. O cálculo é essencial para nossa compreensão de medição de sólidos, curvas e áreas. É a base de muitas leis naturais e é a fonte de equações diferenciais.
No uso moderno, o teorema fundamental do cálculo é aplicado em qualquer problema matemático que requer uma solução ótima.
A lei universal da gravitação de Newton
A lei universal da gravitação de Newton descreve a interação gravitacional entre dois corpos com massa. A equação é expressa da seguinte forma:
F = G * (m1 * m2) / r^2
Onde:
- F é a força gravitacional entre os dois corpos, medida em newtons (N).
- G é a constante gravitacional universal, aproximadamente igual a 6,67430 × 10^(-11) N(m^2/kg^2).
- m1 e m2 são as massas dos dois corpos envolvidos na interação, medidas em quilogramas (kg).
- r é a distância entre os centros de massa dos dois corpos, medida em metros (m).
A lei universal da gravitação de Newton então calcula a força da gravidade entre dois objetos. Isaac Newton derivou suas leis com base no trabalho anterior de Johannes Kepler, embora tenha sido acusado de plagiar o trabalho de Robert Hooke.
Embora tenha sido suplantada pela teoria da relatividade de Einstein em algumas aplicações, a lei da gravitação de Newton ainda é usada em engenharia para descrever a interação gravitacional entre objetos. É utilizado no projeto de órbitas para satélites e sondas.
A origem dos números complexos
A origem dos números complexos remonta ao século XV e está relacionada à descoberta de que o quadrado de um número imaginário é negativo, com a contribuição de Girolamo Cardano, Rafael Bombelli e John Wallis, explorando as soluções para equações polinomiais. E justamente a busca por soluções para a equação x^2 + 1 = 0 levou ao desenvolvimento dos números complexos.
Os números complexos são expressos na forma a + bi, onde "a" e "b" são números reais e "i" é a unidade imaginária, definida como a raiz quadrada de -1. A unidade imaginária, "i", é fundamental na formação dos números complexos.
A equação que define os números complexos é:
z = a + bi
Onde:
- "z" é um número complexo.
- "a" é a parte real do número complexo.
- "b" é a parte imaginária do número complexo.
Os números complexos são amplamente utilizados em engenharia elétrica e na teoria matemática complexa. Eles permitem análises complexas que auxiliam os engenheiros na resolução de problemas práticos no plano complexo.
Os números complexos são uma representação que combina números reais e imaginários, sendo amplamente. Eles desempenham um papel fundamental na teoria dos números, análise complexa, engenharia elétrica e mecânica quântica. Sua utilização é essencial para resolver problemas práticos em engenharia, como iluminação elétrica e câmeras digitais. Pode-se dizem, então, que têm um impacto significativo no avanço da tecnologia moderna.
A fórmula de Euler para poliedros
A fórmula de Euler para poliedros descreve uma relação entre o número de vértices (V), arestas (E) e faces (F) de um poliedro. A equação é expressa da seguinte forma:
V - E + F = 2
Embora não seja uma equação no sentido tradicional, a fórmula de Euler é fundamental para a topologia, uma disciplina matemática que estende a geometria a qualquer superfície contínua. É uma ferramenta essencial para engenheiros e biólogos.
A fórmula de Euler para poliedros descreve a forma ou estrutura de um espaço, independentemente do alinhamento. Foi inicialmente descrita por Descartes e posteriormente aprimorada e publicada por Leonhard Euler em 1750.
Atualmente, a topologia é usada para entender o comportamento e a função do DNA, entre outras aplicações em diversas áreas da ciência. E a fórmula de Euler continua desempenhando um papel importante no estudo e na análise de espaços e estruturas complexas.
A equação de onda
A equação de onda descreve a propagação de ondas em um meio. A equação é geralmente escrita da seguinte forma:
∂²ψ/∂t² = v²∇²ψ
Onde:
- ψ é a função de onda, que representa a perturbação física causada pela onda.
- t é o tempo.
- v é a velocidade de propagação da onda.
- ∇² é o operador laplaciano, que descreve a taxa de variação espacial da função de onda.
Essa equação descreve o comportamento das ondas e é usada para entender fenômenos como o som, os terremotos e o comportamento do oceano. Empresas petrolíferas, por exemplo, utilizam essa equação para prever formações geológicas.
A equação de onda foi descrita inicialmente por Daniel Bernoulli e Jean D'Alembert no século XVIII, embora em abordagens ligeiramente diferentes. Ela é bastante utilizada de maneira moderna, permitindo prever e estudar os efeitos das ondas em diferentes contextos.
A transformada de Fourier
A transformada de Fourier é uma técnica matemática que descreve a decomposição de uma função no domínio do tempo em suas componentes de frequência. A equação da transformada de Fourier é definida da seguinte forma:
F(ω) = ∫ f(t) * e^(-iωt) dt
Onde:
- F(ω) representa a transformada de Fourier da função f(t) no domínio da frequência ω.
- f(t) é a função original no domínio do tempo.
- ω é a frequência angular.
Essa equação permite analisar padrões complexos decompondo-os em componentes de frequência. É amplamente utilizada em análise de sinais, compactação de dados e descobrir estrutura de moléculas, como estudadas pela Engenharia Bioquímica.
Atualmente, a transformada de Fourier é amplamente utilizada em diversos campos. Joseph Fourier desenvolveu a equação a partir de suas equações sobre fluxo de calor e equações de onda. Ela é de grande importância, pois permite decompor, limpar e analisar padrões complexos.
As equações de Navier-Stokes
As equações de Navier-Stokes descrevem o comportamento do movimento de fluidos. Elas são um conjunto de equações diferenciais parciais que combinam a conservação da massa e do momento, levando em consideração a viscosidade. As equações são expressas da seguinte forma:
Equação de conservação da massa:
∂ρ/∂t + ∇ · (ρv) = 0
Equações de conservação do momento:
ρ (∂v/∂t + v · ∇v) = -∇p + μ∇²v + f
Onde:
- ρ é a densidade do fluido.
- t é o tempo.
- v é o vetor velocidade do fluido.
- p é a pressão.
- μ é a viscosidade dinâmica do fluido.
- ∇ é o operador nabla, que representa o gradiente.
- ∇² é o operador laplaciano.
Vale destacar que na fórmula acima é feita uma relação entre aceleração de uma pequena quantidade de fluido no lado esquerdo da equação às forças que atuam sobre ele no lado direito.
Essas equações são amplamente utilizadas na engenharia, especialmente em aerodinâmica. Permitem a modelagem e o projeto de veículos mais eficientes em termos de resistência ao ar até a dinâmica nos mares.
As primeiras tentativas desse estudo foram feitas por Leonhard Euler, mas foi Claude-Louis Navier e George Stokes que fizeram contribuições significativas para o desenvolvimento do modelo atual.
Hoje, essas equações são de extrema importância. Com o avanço computacional, tornou-se possível resolvê-las, abrindo caminho para um campo complexo e útil da física. Elas são especialmente relevantes para melhorar a aerodinâmica de veículos, resultando em benefícios para a indústria de transporte, incluindo o desenvolvimento de modernos jatos de passageiros.
Vale destacar que essas nove equações listadas no texto são apenas algumas das muitas que são usadas nas engenharias, cada uma desempenhando um papel fundamental em diferentes áreas e aplicações.
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Fontes: Engenheiro Conectado em Instagram, Medium.
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Eduardo Mikail
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