Engenharia 360

Erastótenes responde o que é necessário para calcular o raio da Terra

Engenharia 360
por Cristiano Oliveira da Silva
| 28/03/2022 | Atualizado em 15/05/2022 4 min

Erastótenes responde o que é necessário para calcular o raio da Terra

por Cristiano Oliveira da Silva | 28/03/2022 | Atualizado em 15/05/2022
Engenharia 360

Se, hoje, alguém perguntasse a você – engenheiro ou aspirante a engenheiro – “Como faço para estimar o raio da Terra?”, o que você responderia? Ou passaria essa questão para outro?

Pois bem, nessa matéria, o Engenharia 360 vai lhe mostrar que o nosso cérebro, quando devidamente estimulado pela curiosidade e algumas hipóteses assumidas, pode muita coisa, até calcular o raio da Terra com certa precisão!

Erastótenes
Imagem reproduzida de Fatos Desconhecidos

Quem foi Erastótenes?

Em 276 a.C., na cidade de Cirene, na Grécia, nascia o matemático, gramático, filósofo, astrônomo, poeta e bibliotecário Erastótenes.

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Trata-se de um homem que produziu conhecimento através de obras filosóficas, além de poemas, histórias, diálogos e trabalhos sobre gramática.

Atribui-se a ele a criação da “Geografia”. Sua contribuição também chegou à Matemática, onde ainda hoje se utiliza o “crivo de Erastótenes” para números primos, além de abordar outros problemas importantes na época.

Erastótenes
Imagem reproduzida de Cantinho das Curiosidades

Alguns de seus contemporâneos, o chamavam de “beta”, por estar em segundo lugar em várias áreas do conhecimento; outros o chamavam de “pentatleta”, por sua diversidade de conhecimento. Trazendo o pensamento para os dias de hoje, percebe-se que tinha seguidores e haters. Nada mudou em relação ao comportamento humano…

Eratóstenes morreu aos 82 anos, na cidade de Alexandria, onde foi bibliotecário na extinta Biblioteca da cidade.

Veja Também: A Matemática Responde – parte 1: quem é maior, e^pi ou pi^e?

O que isso tem a ver com o raio da Terra?

Eratóstenes foi bibliotecário da Biblioteca de Alexandria (que foi incendiada acidentalmente em 48 a.C.).

Era um posto de certa nobreza, porque lhe permitia ter acesso ao conhecimento disponível no mundo ocidental até então.

Certa feita, Erastótenes estava lendo um manuscrito e algo lhe deixara curioso: durante o solstício de verão, na cidade de Siena (atual Assuão, região sul do Egito), ao meio-dia, o sol fica exatamente no zênite, ou seja, os raios solares incidem no solo sob um ângulo de 90°. É o famoso “sol a pino”!

E essa informação foi lida mais ou menos como segue: “na cidade de Siena, no solstício de verão, ao meio-dia, há um poço onde é possível, nessa data, observar o sol refletido em seu fundo”.

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Erastótenes, então, aguardou o próximo ano, o próximo solstício. Meio-dia ele foi olhar o fundo do poço, mas não viu o sol refletido no fundo; e isso porque ele estava na cidade de Alexandria.

Então, no outro ano, pediu para alguém ir a Siena, averiguado o seguinte fato: lá, no dia e horário especificados, havia quase uma “atração turística”, o sol refletido no fundo do poço.

E o que ele fez?

Primeiro, Eratóstenes se perguntou “Por que, na mesma data e hora, em um local tem sombra e em outro não?”, “Por que isso ocorre?”.

Então, formulou estas hipóteses:

  • Para uma superfície (Terra) iluminada por uma fonte de luz (Sol) suficientemente distante, os raios oriundos dessa fonte atingem a superfície de forma paralela (essa hipótese é fortíssima e determinante para o cálculo que ele fez).
  • Mas, se pontos diferentes e distantes sobre essa superfície são atingidos por raios paralelos, então formam sombra com o mesmo comprimento se estiverem sobre uma superfície plana. Caso as sombras sejam diferentes, então a superfície necessariamente é curva.

Com essas hipóteses, calculou o raio da Terra. Conclusão:

  • No dia e hora exatos, lá em Siena um poste não faz sombra, certo? Mas em Alexandria faz!

Então ele cravou no chão uma estaca de madeira a 90° com o solo e mediu a sombra.

Conhecendo trigonometria básica, o comprimento do poste e o comprimento da sombra, calculou o ângulo feito pelo raio de luz e a estaca de madeira.

Conhecendo propriedades dos ângulos alternos-internos, o pesquisador concluiu que o ângulo calculado é justamente o ângulo interno no centro da Terra formado por Siena / Centro da Terra / Alexandria.

Sabendo esse ângulo interno e sabendo a distância entre Siena e Alexandria (que é o arco correspondente ao ângulo calculado), consegue-se via regra-de-três calcular o raio da Terra.

A imagem a seguir representa bem o descrito acima:

Erastótenes
Imagem reproduzida de Cantinho das Curiosidades

A saber, Erastótenes foi o primeiro homem a calcular o raio da Terra com um nível de precisão muito alto!

E como fez?

  • Principalmente, pois usou seu cérebro de forma apropriada.
  • Primeiro, atiçou a curiosidade, questionando um manuscrito que descrevia um fenômeno.
  • Depois, validou se a informação era verdadeira ou fake.
  • Formulou hipóteses.
  • Calculou o ângulo entre o raio e o poste de madeira, encontrando o valor 7,2° (ou 1/50 de circunferência).
  • Contratou um itinerante para medir, em passos constantes e bem calibrados (isso era um trabalho na época), a distância Alexandria – Siena, encontrando o valor de 5040 estádios (“estádio” era uma forma de medida, que variava de 156 m a 210 m). Uma pesquisa da década de 1970 avaliou qual teria sido o “estádio” usado por Erastótenes e concluiu que esse valor teria sido 157,7 m.
  • Então, fez a regra-de-três: se 1/50 de círculo corresponde ao arco “5040 estádios”, então o círculo inteiro corresponde a 50 x 5040 estádios.

Mas o comprimento inteiro, que é 50×5040 estádios, é o famoso 2πR. Então:

R = (50x5040x157,7)/(2π)
R = 6.325 km

Numa “googleada” qualquer, digite “raio da Terra” e obtenha o valor R = 6.371 km!

Veja Também: A Matemática Responde – parte 2: 0,999999…. ou 1, o número 666 e a dízima do 7 [Como é?]

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Cristiano Oliveira da Silva

- Engenheiro Civil (Poli-USP/2003) - Pesquisador colaborador UFABC - Capacitação e disseminação de BIM - Gerente de Engenharia / BIM Manager - Projetos, Planejamento e Qualidade na empresa BEN - Bureau da Engenharia - INEXH - Instituto Nacional de Excelência Humana - MasterPractitioner e Coach Sistêmico - Analista Corporal - O Corpo Explica - Músico, pai e curioso por natureza

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