0,9999… = x

Podemos multiplicar essa identidade por 10 em ambos os lados da expressão, chegando a 10x = 9,9999….

Reorganizando essa expressão que temos até o momento, fica:

10x = 9 + 0,9999…

Mas…

0,999… = x

Então,…

10x = 9 + x

9x = 9

x = 1,0 = 0,999….

Portanto, é errado dizer que 0,999… é aproximadamente 1… na verdade, é IGUAL a 1 mesmo!

O que o número 666 tem de especial?

Há uma lenda por trás desse número. Alguns dizem ser o “número da besta” (seja lá o que isso queira significar).

O fato é que esse número pode ser escrito de muitas maneiras interessantes.

São elas:

• Decomposição em fatores primos: o número 666 é o produto 2x3x3x37 (nada demais, o que pode ser curioso é que esse produto pode ser escrito como sendo 18 x 37 ou, rearranjando, [(2×18²)+(1×18)]. Até aqui, sem novidade;
• Soma dos quadrados dos 7 primeiros números primos, diferentes de 1. Faça o teste e vejam o resultado da expressão 2² + 3² + 5² + 7² + 11² + 13² + 17². Fez?

Faça também a seguinte soma:

1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 5³ + 4³ + 3³ + 2³ + 1³

E você, também acha interessante essas formas?

A interessante dízima do 7

O número 7 é bem recorrente no nosso dia-a-dia: 7 dias da semana, 7 notas musicais (na verdade existem 12 na maior parte dos instrumentos, mas são 7 notas necessárias para se formar uma escala)… mas o que há de interessante nesse número?

As frações do 7

Vamos escrever as frações do 7 a seguir e simplesmente.. observá-las:

1/7 = 0,142857142857142857…

2/7 = 0,285714285714285714…

3/7 = 0,428571428571428571…

4/7 = 0,571428571428571428…

5/7 = 0,714285714285714285…

6/7 = 0,857142857142857142…

Notou algo interessante?

Perceba que os números142857 são recorrentes e mudam apenas de ordem na dízima. E mais: os números 14, 28 e 57 são o dobro um do anterior (o 57 é “quase”, é o dobro + 1). Outra curiosidade: os números 0, 3, 6 e 9 não aparecem na dízima.

E para que serve isso?

Bem, além de curioso, se você gosta de fazer contas de cabeça, saber disso irá lhe ajudar quando for fazer contas de dividir com o número 7.

Ao saber a sequência 142857, fica fácil qualquer divisão por 7. Por exemplo: quanto é 68 dividido por 7? Sabemos que 63 é divisível por 7, mas 68 não. Sobra 5 na verdade. Então, 68 dividido por 7 resulta em 9 e “uns quebrados”. Esses “quebrados” são 5/7, que resulta em 0,714285714… Assim a resposta é 9,7142857… (confere aí na calculadora)!

Então, eu preciso decorar essas dízimas?

Na verdade, não! Apenas a sequencia 142857! E para montar as dízimas corretas, basta ordenar os algarismos na ordem crescente: 1/7, começa com 14…; 2/7, começa com 28…; 3/7 começa com 428… e assim por diante.