Na Matemática, o estudo das séries de potências aplicadas a casos particulares é bem amplo e há diversos tipos a serem estudados, a exemplo das séries infinitas, de Fourier, de Taylor, de Maclaurin, binômio de Newton e por aí vai. Agora, neste texto do Engenharia 360, exploramos os dois tipos mais conhecidos: as Séries de Taylor e de Maclaurin!
Antes de tudo, vale dizer que a lógica por trás de uma aproximação por séries de potências é a seguinte: qualquer função que respeita algumas regras matemáticas de continuidade e diferenciação num intervalo dado, podem ser aproximadas por uma série infinita de polinômios.
Isso tem ganhos muito práticos, principalmente porque muitas vezes é mais fácil trabalhar algebricamente com polinômios do que com a própria função. Continue lendo para saber mais!
O que são Séries de Potências na Matemática?
Uma série de potências é toda expressão no formato:
Vejam que é uma soma infinita, do ponto de vista formal. Entretanto, na prática, é possível estimar um número finito de termos, tendo como premissa a precisão que se busca para a aproximação. Ou seja: pode-se avaliar o “erro”, pegando-se o último termo da série e subtraindo-se o valor do penúltimo. Não daremos foco nos formalismos matemáticos, mas na aplicação para o caso de algumas funções.
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Séries de Taylor
Na Matemática, a Série de Taylor é uma expressão que aproxima uma dada função em torno de um ponto escolhido arbitrariamente.
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A expressão é a seguinte:
A constante c indica que a aproximação é válida em torno desse ponto. E os valores dos coeficientes an são definidos através das derivadas da função que se quer aproximar.
Utilizando-se essa ideia, chega-se à seguinte expressão:
Os termos f’; f’’, f’’’... correspondem às sucessivas derivadas da função que se quer aproximar.
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Por exemplo: suponha que se deseje, através dessa série, calcular o valor aproximado para ln(2,1) (logaritmo neperiano de 2,1). Há tabelas de logaritmos para ln2, ln3, ln4, etc. Mas não é comum encontrar na tabela o valor do ln2,1. Se você pegar a sua HP empoeirada na gaveta e calcular esse valor, irá chegar a 0,7419373. E se você não dispusesse de uma calculadora para realizar esse cálculo? Uma saída seria usar o polinômio de Taylor!
A função em questão é ln(x). Vamos aplicar esse polinômio com os 4 primeiros termos e ver o que acontece?
Suas derivadas são bem conhecidas:
f’(x) = 1/x
f”(x)= -1/x²
f’’’(x) = 2/x³
Como queremos avaliar através da matemática a função para 2,1 então é bem razoável tomarmos a = 2. É em torno desse número que a expressão será calculada.
Substituindo então a = 2 no valor das expressões para as derivadas, temos:
f'(c) = 1/2
f’’(c) = -1/4
f’’’(c) = 1/4
Então, dessa forma, chega-se à expressão:
Substituindo-se x = 2,1 na expressão e os valores das derivadas, temos:
Resolvendo essa expressão, chega-se a 0,7419885, que é um valor que bate com o da calculadora até a 4ª casa decimal, tornando a aproximação bem precisa.
Séries de Maclaurin
Ainda na matemática, as séries de Maclaurin são um caso particular da Série de Taylor, considerando a centralização da aproximação em torno de c = 0.
Se substituirmos na Série de Taylor o valor de c= 0, obtemos a seguinte série:
Vamos expandir essa série para três funções que apresentam derivadas bem conhecidas: senx, cosx e ex.
Expansão de sen(x) e cos(x)
Tomando-se a função sen(x), temos as seguintes derivadas:
f'(x) = cos(x)
f’’(x) = - sen(x)
f’’’(x) = -cos(x)
f(4)(x) = sen(x)
f(5)(x) = cos(x)
Não precisa ser nenhum gênio da Matemática, dominando cálculo integral e diferencial, para perceber que, a partir da 4ª derivada, tudo se repete. Além disso, a primeira derivada já é a função cosx e tudo igualmente se repete.
Como precisamos dos valores em torno de 0 (zero), agora ficou bem fácil determinar os termos, sabendo-se apenas que sen(0) = 0 e cos(0) = 1.
Sendo assim, temos as belíssimas expressões para a aproximação das funções senx e cosx:
Se você se formou em Engenharia, em algum momento, você ouviu seu professor de cálculo dizendo que “para valores pequenos de x, sen(x) = x e cos(x) = 1”.
Vamos fazer esse teste para sen(x): suponha que x = 0,1.
Então a expressão do sen(x) fica:
Calculando essa expressão, você chegará ao valor 0,099833416667, que é aproximadamente 0,1. Isso porque 0,1 é pequeno. Elevado ao cubo e dividido por 3!, fica menor ainda. Elevado à 5ª potência e dividido por 5! (120), vira quase zero!
Expansão da função exponencial ex
Já vimos aqui no Engenharia 360 uma matéria explicando as particularidades do número “e”.
Uma delas é que, se usado como base de uma função exponencial, f(x) = ex, as suas derivadas são a própria função! Isso é ótimo, porque as n derivadas serão ex e, consequentemente, avaliada em c = 0, sabemos que qualquer número elevado a 0 resulta 1.
Portanto, para a função exponencial, temos a bela aproximação:
Por fim, se considerarmos nessa expressão x = 1? Aí teremos uma série para obtenção do número “e”, resultando na soma infinita apresentada abaixo:
Gostou de aprender sobre as Séries de Taylor e Maclaurin? Agora, aplique esse conhecimento em seus estudos e pesquisas!
Fonte: Wikipedia e Wikipedia 2.
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Cristiano Oliveira da Silva
Engenheiro Civil; formado pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo; com conhecimentos em 'BIM Manager at OEC'; promove palestras com foco em Capacitação e Disseminação de BIM / Soft Skills.