A Matemática Responde - parte 1: quem é maior, e^pi ou pi^e?

Os números "e" e pi já foram assunto por aqui, no Engenharia 360. Você deve lembrar que seus valores são, aproximada e respectivamente 2,7183 e 3,1415.

Surge daí esse problema interessante: quem é maior: “Dois vírgula muito elevado a três e pouquinho ou três e pouquinho elevado a dois vírgula muito?". Para se ter uma ideia de como os resultados são próximos, se você usar uma calculadora, chegará aos resultados 23,14 e outro 22,46.

Suponha que você não dispõe de calculadora, como saber quem é maior (a pergunta não é calcule os valores, mas quem é maior: um elevado ao outro ou outro elevado ao um).

Acompanhe a matéria!

Formulação do problema

Já tá formulado... quem é maior: e^pi ou pi^e?

Bem, para saber quem é maior, vamos definir uma relação entre esses números:

Função logarítmica

Então é possível aplicar a função logaritmo na base e, ou famoso ln (ou logaritmo natural ou logaritmo neperiano). Isso porque a função ln é injetora e crescente.

A título de curiosidade: a função logarítmica é inversa à função exponencial... então é um bom caminho utilizá-la.

Da propriedade dos logaritmos, conclui-se que:

(o expoente “vem pra frente” e lne = 1)

Fazendo-se o mesmo para a outra parte:

De onde se conclui que:

Certo... e o que fazer com isso?

Concordam se a > b ou a < b, então ln(a) > ln(b) ou ln(a) < ln(b)? (a desigualdade se mantém, ln x é função injetora e crescente!).

Então comparar

É o mesmo que comparar

Entendido isso, vamos para mais uma mudança de variável: seja ln⁡(π) = c (a título de curiosidade, se você calcular chegará ao número 1,145...).

Muito bem... Então, se...

Novamente, das propriedades logarítmicas, nesse caso, usando a definição mesmo:

Observe essa expressão e a relação:

Pronto! Já podemos concluir quem é maior. Por que?

Percebam nessa última expressão, no numerador, que o número “e” aparece elevado a uma constante “c”; ao passo que no denominador o “e” aparece multiplicado por essa constante.

Sejam as funções f(x) = e^x e a função g(x)= e.x . 

Observe no gráfico abaixo seu comportamento, que dá respaldo para a afirmação do parágrafo anterior.

E o que isso significa? Que o numerador é maior que o denominador (na verdade, a única chance de ambos serem iguais é se c = 1. Qualquer outro número e^c será sempre maior que e.c).

..., como queríamos demonstrar!

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